В 1896 году Михаил Адамов окончил музыкально-драматическое училище Московского филармонического общества по классу А. Маркварта. C 1889 по 1897 год он играл в оркестре Большого театра в Москве. В 1897 и 1898 годах Адамов преподавал в музыкальном училище Русского музыкального общества в Одессе. С 1898 по 1902 он играл первую трубу в оркестре Императорского Мариинского театра в Петербурге. В 1903 году Михаил Адамов вновь вернулся в Москву, где до конца жизни работал солистом-корнетистом оркестра Большого театра. По воспоминаниям его ученика Михаила Ветрова, Адамов с таким энтузиазмом относился к своей работе, что это позволяло ему сохранять профессиональную форму даже в пожилом возрасте, что является редкостью для исполнителей на медных духовых инструментах.

Первый его опыт преподавания относится к 1897 и 1898 годам, когда Адамов, покинув Москву, преподавал в музыкальном училище Русского музыкального общества в Одессе. Среди его учеников того периода был известный впоследствии джазовый музыкант Яков Скоморовский. В 1912 году он стал первым русским музыкантом, приглашённым преподавать в класс духовых инструментов в Московской консерватории. До этого духовые инструменты преподавали исключительно иностранцы, преимущественно немцы и чехи. В 1918 году Адамов получил звание профессора консерватории. Он преподавал в консерватории около 20 лет, и прекратил педагогическую деятельность там в 1932 году. Кроме того, Адамов некоторое время преподавал также в Московском музыкальном техникуме им. братьев Рубинштейн. Среди учеников Михаила Адамова такие трубачи как Сергей Болотин и Михаил Ветро.